Les histoires du père Vincent

Soit \(f: I \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Si \(f\) admet un maximum local en \(x_0\in I\), alors \(f\) admet un maximum global en \(x_0\).

Soit \(f: I \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) et soit \(x_0\in I\). Si \(f'(x_0)=0\), alors \(f\) admet un minimum local ou un maximum local en \(x_0\).

Soit \(f : [0\,;1]\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable sur \([0\,;1]\). On suppose que \(f\) admet un maximum en \(x_0\). Alors \(f'(x_0)=0\).

Toute fonction qui n'est pas croissante sur \(I\) est nécessairement décroissante sur \(I\).

Il existe des fonctions définies sur \([0\,;1]\) qui sont croissantes sur \([0\,;1]\) et décroissantes sur \([0\,;1]\).

Soit \(f : \mathbb{R}^*\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) telle que, pour tout \(x\in \mathbb{R}^*\), \(f'(x)\geqslant 0\). Alors \(f\) est croissante sur \(\marhbb{R}^*\).

Soit \(f : \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable telle que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(f'(x)>0\). Alors \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(f : D\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction définie sur un ensemble \(D\). Si \(f\) est strictement croissante sur \(D\), alors \(f\) est croissante sur \(D\).